Poques formes geomètriques són tan diverses com els polígons. Inclouen el triangle, el quadrat i el pentàgon familiars, però això només és el començament.
En geometria, un polígon és qualsevol forma bidimensional que compleixi les condicions següents:
- Està format per tres o més línies rectes
- Està tancat sense obertures ni trencaments en la forma
- Té parells de línies que es connecten a les cantonades o vèrtexs on formen angles
- Té el mateix nombre de costats i angles interiors
Bidimensional vol dir pla com un tros de paper. Els cubs no són polígons perquè són tridimensionals. Els cercles no són polígons perquè no contenen línies rectes.
Un tipus especial de polígon pot tenir angles que no són tots iguals. En aquest cas, s'anomena irregular polígon.
Sobre els polígons
El nom polígon prové de dues paraules gregues:
- Poly, que significa molts
- Gon, que significa angle
Formes que són polígons
- Trigon (triangle): 3 costats
- Tetragon (quadrat): 4 costats
- Pentàgons: 5 cares
- Hexàgon: 6 costats
- Heptàgon: 7 costats
- Octogons: 8 costats
- Nonagon: 9 costats
- Decàgon: 10 cares
- Undecàgon: 11 cares
- Dodecàgons: 12 cares
Com s'anomenen els polígons
Els noms dels polígons individuals es deriven del nombre de costats o cantonades que posseeix la forma. Els polígons tenen el mateix nombre de costats i cantonades.
El nom comú de la majoria de polígons és el prefix grec per a "costats" adjunt a la paraula grega per a cantonada (gon).
Exemples d'això per a polígons regulars de cinc i sis cares són:
- Penta (el grec significa cinc) + gon= pentàgon
- Hexa (el grec significa sis) + gon= hexàgon
Hi ha excepcions a aquest esquema de noms. Sobretot amb paraules més utilitzades per a alguns polígons:
- Triangle: Utilitza el prefix grec Tri, però en comptes del grec gon, el llatí angle S'utilitza. Trigon és el nom geomètric correcte, però rarament s'utilitza.
- Quadrilateral: Derivat del prefix llatí quadri, que significa quatre, unit a la paraula lateral,, que és una altra paraula llatina que significa lateral.
- Quadrat: de vegades, un polígon de quatre costats (un quadrat) s'anomena quadrangle o tetragon.
N-Gons
Els polígons amb més de 10 costats es troben amb poca freqüència, però segueixen la mateixa convenció de denominació grega. Per tant, un polígon de 100 costats s'anomena hectogon.
No obstant això, en matemàtiques, els pentàgons de vegades s'anomenen més convenientment com a n-gons:
- 11-gon: Hendecagon
- 12-gon: Dodecàgon
- 20-gon: Icosagon
- 50-gon: Pentecontagon
- 1000-gon: Chiliagon
- 1000000-gon: Megagon
En matemàtiques, els n-gons i els seus homòlegs de nom grec s'utilitzen indistintament.
Límit de polígon
Teòricament, no hi ha límit al nombre de costats que pot tenir un polígon.
A mesura que la mida dels angles interiors d'un polígon es fa més gran i la longitud dels seus costats s'escurça, el polígon s'acosta a un cercle, però mai no hi arriba del tot.
Classificació de polígons
Polígons regulars vs. irregulars
Els polígons es classifiquen en funció de si tots els angles o costats són iguals o no.
- Polígon regular: tots els angles tenen la mateixa mida i tots els costats tenen la mateixa longitud.
- Polígon irregular: no té angles de la mateixa mida ni costats de la mateixa longitud.
Polígons convexos i còncaus
Una segona manera de classificar polígons és per la mida dels seus angles interns.
- Polígons convexos: no tenen angles interns superiors a 180°.
- Polígons còncaus: tenen almenys un angle intern superior a 180°.
Polígons simples vs. complexos
Una altra manera de classificar polígons és la manera com es tallen les línies que formen el polígon.
- Polígons simples: les línies es connecten o es tallen només una vegada, als vèrtexs.
- Polígons complexos: les línies es tallen més d'una vegada.
Els noms dels polígons complexos de vegades són diferents dels de polígons simples amb el mateix nombre de costats.
Per exemple:
- Un hexàgon de forma regular és un polígon simple de sis cares.
- Un hexagrama en forma d'estrella és un polígon complex de sis cares creat superposant dos triangles equilàters.
Regla de la suma dels angles interiors
Per regla general, cada vegada que s'afegeix un costat a un polígon, com ara:
- D'un triangle a un quadrilàter (de tres a quatre costats)
- D'un pentàgon a un hexàgon (de cinc a sis costats)
S'afegeix uns altres 180° al total dels angles interiors.
Aquesta regla es pot escriure com una fórmula:
(n - 2) × 180°
on n és igual al nombre de costats del polígon.
Així que la suma dels angles interiors d'un hexàgon es pot trobar utilitzant la fórmula:
(6 - 2) × 180°=720°
Quants triangles hi ha aquest polígon?
La fórmula de l'angle interior anterior es deriva dividint un polígon en triangles, i aquest nombre es pot trobar amb el càlcul:
n - 2
En aquesta fórmula, n és igual al nombre de costats del polígon.
Un hexàgon (sis costats) es pot dividir en quatre triangles (6 - 2) i un dodecàgon en 10 triangles (12 - 2).
Mida d'angle per a polígons normals
Per als polígons regulars, en què els angles tenen la mateixa mida i els costats tenen la mateixa longitud, la mida de cada angle d'un polígon es pot calcular dividint la mida total dels angles (en graus) pel nombre total de costats.
Per a un hexàgon normal de sis cares, cada angle és:
720° ÷ 6=120°
Alguns polígons coneguts
Els polígons coneguts inclouen:
Trusses
Les encavallades del sostre solen ser triangulars. Depenent de l'amplada i la inclinació del sostre, l'armadura pot incorporar triangles equilàters o isòsceles. Per la seva gran força, els triangles s'utilitzen en la construcció de ponts i quadres de bicicletes. Són destacats a la Torre Eiffel.
El Pentàgon
El Pentàgon, la seu del Departament de Defensa dels Estats Units, pren el nom de la seva forma. L'edifici és un pentàgon regular de cinc cares.
Plat de casa
Un altre pentàgon regular de cinc cares conegut és el plat principal d'un diamant de beisbol.
El fals pentàgon
Un centre comercial gegant a prop de Xangai, a la Xina, té la forma d'un pentàgon normal i de vegades s'anomena Pentàgon fals.
Focs de neu
Cada floc de neu comença com un hexàgon, però la temperatura i els nivells d'humitat afegeixen branques i vrilles perquè cadascun acabi semblant diferent.
Abeles i vespes
Els hexàgons naturals també inclouen ruscs, on cada cel·la d'un bresca que les abelles construeixen per contenir la mel és hexagonal. Els nius de vespes de paper també contenen cel·les hexagonals on crien les seves cries.
La Calçada del Gegant
També es troben hexàgons a la Calçada del Gegant, situada al nord-est d'Irlanda. És una formació rocosa natural composta per unes 40.000 columnes de bas alt entrellaçades que es van crear a mesura que la lava d'una antiga erupció volcànica es va refredar lentament.
L'Octògon
L'Octògon, el nom que es dóna a l'anell o la gàbia que s'utilitza en els combats de l'Ultimate Fighting Championship (UFC), pren el nom de la seva forma. És un octògon regular de vuit cares.
Signals de parada
El senyal de stop, un dels senyals de trànsit més coneguts, és un altre octògon regular de vuit cares. Tot i que el color, la redacció o els símbols del senyal poden variar, la forma octogonal del senyal de stop s'utilitza a molts països del món.
